Microtonalismo

Por Henzo Lafuente. ©

Índice

• Introducción
• La Prisión de los Semitonos
• Escala Tradicional de 12 tonos
• Una escala "típica" de 31 notas en una octava
• Afinaciones Desconocidas
• Algunos ejemplos
• Consejos para "microtonalear"
• Conclusiones
• Apéndice: Escalas y sus valores en cents
• Escala Alpha Carlos de 19 tonos por octava
• Escala Exacta Enharmónica de Ben Johnston de 25 tonos por octava
• Escala de Harry Partch de 43 tonos por octava
• Escala India Shruti de 22 tonos por octava
• Escala China Lu por Huai-nan-dsi, de la era Han . Kürt Reinhard: "Chinesische Musik"
• Thesaurus
• Contribuciones de lectores

INTRODUCCIÓN

La música contemporánea actual tiene una gran riqueza. Existe un sinnúmero de estilos y corrientes: Pop, New Age, Trip-hop, Electrónica, Jazz, etc. Y con el tiempo cada uno de ellos se van ramificando vetas artísticas por explotar. Esto está muy bien, pero sin embargo, se han olvidado, o bien se omiten por comodidad, ciertos tipos de estructuras que son igualmente válidas y que están desperdiciándose. Si bien es cierto, corrientes clásicas como el dodecafonismo, la música estocástica de Iannis Xenakis, la música aleatoria de John Cage, el minimalismo de Philip Glass, se han mantenido en un ámbito más bien restringido, de academia o bien se han contemplado como curiosidad.

Sin embargo, uno de los elementos fundamentales de la música, lo que parece establecido e inamovible, se han dejado muertas. Nos referimos a las notas musicales.

Se llegó a la convención de que existen doce semitonos en una octava y se acabó. Es decir, do, do#("# " significa sostenido), re, re#, mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la#, y si. Atrás quedó Alois Hába, con su sistema de cuartos de tono, quien hizo algunas obras que eran más manifiestos de su pensamiento, que música propiamente tal.

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LA PRISIÓN DE LOS SEMITONOS

Un microtono, como ya lo habrá adivinado, significa cualquier fracción de tono que existe entre, por ejemplo, do y do#. En otras palabras, cualquier nota que se encuentre entre las dos teclas "juntas", en un piano, por ejemplo. Aunque no se vean o parezca una tontería.

Hace ya muchos años, un teórico musical llamado Alexander J. Ellis se percató de esto y determinó una nueva unidad de medida para intervalos o notas: el cent. Un cent no es otra cosa que la centésima parte entre un tono y un semitono. Es decir, entre do y do# tenemos 100 cents. Entonces, en una octava de 12 semitonos tendremos 1200 cents.

He aquí una tabla de ejemplo para que se entienda de lo que hablamos:

Escala Tradicional de 12 tonos (12 Tone Equal-Temperament)

Grado de tono	Valor en Cents	Nombre del Intervalo	Den.
1	0	unísono	-
2	100.000	semitono diatónico menor	men2
3	200.000	tono mayor íntegro	may2
4	300.000	tercia menor	men3
5	400.000	tercia mayor	may3
6	500.000	cuarta perfecta	4ta
7	600.000	tritono	tritono
8	700.000	quinta perfecta	5ta
9	800.000	sexta menor	men6
10	900.000	sexta mayor	may6
11	1000.000	séptima menor pitagórica	dom7
12	1100.000	séptima clásica mayor	may7

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Excelente. Tenemos 1200 "teclas" para fabricar acordes y escalas. El grado de nota 13 corresponde a una "octava".

Observe que se hablamos de "grado de nota" en lugar de DO, RE, etc. Porque en microtonalismo, las notas do, re y siguientes no existen, solo existen intervalos. Y tenemos también la distancia en cents entre los grados, de 100 en 100 con respecto al grado 1, como hablamos al principio.

Cada intervalo tiene un nombre. El intervalo es la diferencia de tono entre dos notas.

¿Significa entonces que el teclado que tocamos todos los días tiene una distancia, entre cada semitono, de 100 cents equidistantes? Sí. Y no hay posibilidad de variarlo, a menos que posea un sintetizador afinable, como el Kurzweil 1000, el Kurzweil 150FS u otros semejantes o bien mediante algún demo o software de internet, herramientas con las que además puede construir sus propias escalas y afinaciones, además, algunos tienen preseteadas varias afinaciones de las que hablaré luego.

Ahora bien, ¿Cómo se ha llegado a la escala de doce tonos equitativos por octava? Por un principio matemático investigado por el físico Hermann von Helmoltz. Es calculada tomando la duodécima raíz de cada potencia sucesiva de 2, de 0 a 11, con las "octavas" más graves o agudas de esas doce notas asumidas como equivalentes. La duodécima raíz de 2 puede ser escrita como 2 ^(1/12), el siguiente grado, la duodécima raíz de 2², como 2 ^(2/12). Como cualquier número elevado a la potencia cero es uno, la nota principal de la escala, 2^(0/12) tiene el radio o intervalo(distancia entre nota y nota) de 1:1.

Con excepción de esta nota, todas las demás resultan en números irracionales. Esta escala nunca fue afinada con precisión absoluta - con excepción de las "octavas de las notas principales"- sino hasta la aparición de instrumentos electrónicos¹.Como el sintetizador, cuya tecnología actual permite "deslizarse" prácticamente por cualquier tono de la frecuencia auditiva. En este caso, ya estamos hablando de cents "con decimales".

Entonces, la escala de la que hablamos es una escala cuyos "pasos" o "notas", logarítmicamente tienen intervalos iguales entre ellos.

Veamos ahora una escala "típica" de 31 tonos por octava, con igual distancia entre cada intervalo. Pero en lugar de 100 cents, aquí hay intervalos de 38.70098 cents aproximadamente. Verá nuevos y extraños nombres (quizá más extraños que los anteriores), pero no se enrede, es sólo una manera de ponerle un nombre a esos tonos tan nuevos, raros, que se esconden entre las teclas del piano o en cualquier instrumento afinable.

Escala Temperada de 31 tonos (31 Tone Equal Temperament)

Grado de Nota	Valor en cents	Nombre del Intervalo
1	0	unísono
2	38.710	1/5-tono
3	77.419	semitono clásico cromático
4	116.129	semitono menor diatónico
5	154.839	segunda septimal neutral
6	193.548	tono mayor completo
7	232.258	tono septimal íntegro
8	270.968	tercio septimal menor
9	309.677	tercia menor
10	348.387	tercio neutral undecimal
11	387.097	tercia mayor
12	425.806	cuarta clásica disminuida
13	464.516	cuarta estrecha
14	503.226	cuarta perfecta
15	541.935	cuarta aumentada septimal
16	580.645	tritono septimal
17	619.355	tritono de Euler
18	658.065	quinta septimal disminuida
19	696.774	quinta perfecta
20	735.484	quinta ancha
21	774.194	quinta clásica aumentada
22	812.903	sexta menor
23	851.613	sexta undecimal neutral
24	890.323	sexta mayor
25	929.032	sexta séptima mayor
26	967.742	séptima armónica
27	1006.452	séptima menor pitagórica
28	1045.161	21/4-tono, séptima undecimal neutral
29	1083.871	séptima clásica mayor
30	1122.581	octava clásica disminuida
31	1161.290	octava -comma septimal

Podemos ver entonces, que para algo sirven los cents, después de todo. Tenemos una escala basada en una afinación alternativa, que tiene armonías no escuchadas antes y a la que se le puede sacar mucho partido, si uno se lo propone. ¿Y si le dijera que existen muchas afinaciones? ¿Y muchas escalas?. Imagino que si es músico se le "harán agua los oídos".

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AFINACIONES DESCONOCIDAS

Hasta aquí vamos bien. Doce tonos, 100 cents entre cada uno, 1200 cents. Sólo tuvimos que variar el intervalo a 38.70098 cents y tenemos una escala de 31 tonos. Fácil ¿no?

No lo es. Parece sencillo construir escalas con tantas "notas" pero existen reglas, tradiciones y/o compromisos auditivos y matemáticos que nos impiden hacer lo que queramos. Hay que preguntarse ¿Cómo  ejecutar determinado acorde en una escala de, por ejemplo, "re -53 cents mayor", en que se omiten algunas notas? ¿Cuáles de estas 1200 teclas (¡sin contar los decimales!) nos sirven para construir una escala? ¿Cómo saber la distancia en cents entre intervalos para que exista una armonía--o desarmonía?.

Afortunadamente, durante años muchos, teóricos del microtonalismo y de las afinaciones (tunings) han trabajado y expuesto sus investigaciones. Muchos de ellos se basan, como dije antes, generalmente en las matemáticas, con complejísimos enrejados(lattices), que parecen verdaderos mandalas chinos, otros recurren a los números primos, a la serie Fibonacci, ecuaciones, matrices, etc. Lo que nos permite contar con un gran número de escalas o afinaciones alternativas,( ya sea con más de 12 o menos de 12 notas, porque lo que importa no es la cantidad de notas, sino cómo elegirlas) como por ejemplo, éstas son algunas escalas descubiertas o investigadas por importantes teóricos y/o músicos:

• La escala de 19 tonos de Joseph Yasser
• La escala de Harry Partch de 43 tonos
• El sistema de estructuras musicales simétricamente armónicas llamada Combination Product Sets (CPS)  inventada por  Ervin M. Wilson a fines de los 60, basada en procedimientos matemáticos, con los que se creó las escalas Hexany, de 6 tonos,  Eikosany, de 20 tonos, Dekatesserany de 14 tonos. Wilson también creo los Ciclos Diafónicos.
• El sistema Euler Genos o Euler-Fokker Genera, descubierto por Leonhard Euler, del que deriva la escala Octony, de ocho notas de intervalos simétricos.
• La Bohlen-Pierce de 13 tonos de intervalos simétricos.
• La escala Enharmónica Exacta de 25 tonos de Ben Johnston.
• La escala de 24 tonos de Jon Catler
• La escala de 16 tonos de Lou Harrison.
• Alpha, de 19 notas; Beta,de 23 notas; Gamma, de 36 notas, Armónica, y SuperExacta descubiertas por Wendy Carlos.
• La escala de 53 tonos de Larry Hanson.
• Un número de 700 tonos encontrados en una octava por el músico Kyle Gann.

Además, el microtonalismo ha fomentado el interés porlas escalas de otras culturas y etnias, las que tienen ideas distintas de lo que es "armonía" o "música",como por ejemplo:

• La escala javanesa Slendro tradicional, de 5 tonos.
• La escala siamesa tradicional de 7 tonos.
• Una escala del oeste de África, de 7 tonos.
• Raga Shruti, de 22 tonos, India.
• Tailandesa tradicional, de 8 tonos.
• Lu, de 12 notas, por Huai-nan-dsi, de la era Han, en China.
• Ceremonial, Tibetana.
• Arábiga tradicional.
• Pelog Armónica y Pelog Melódica de Bali.

Antiguas escalas en desuso, también están a nuestra disposición gracias a la magia de los cents y la electrónica:

• Kimberger I, Kimberger II y Kimberger III, escalas inventadas por Johann Philipp Kirnberger (1721-1783).Músico del siglo 18.
• Escala temperada de Thomas Young.
• Escala Mayor de Ptolomeo.
• Temperadas Pitagóricas.
• 1/4 de comma.
• 1/5 de comma.
• Escala Vallotti & Young.
• Escala Temperada III (circa 1681)de Andreas Werkmeister.

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ALGUNOS EJEMPLOS

En un excelente artículo que aparece en http://www.wendycarlos.com/ tenemos varias afinaciones y/o escalas:

Cuadro de afinaciones

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Recuerde que la nota cero (original) es la nota "centrada", que puede ser un do, un fa#, cualquier nota, y a partir de esta nota se construirá la escala. La escala 12 ET (Equal-Temperament) es la común, en la que encontramos 100 cents entre dos semitonos, y cada nota tiene un valor cero de afinación centesimal. Las siguientes tienen el valor, positivo o negativo, en el que se debe variar el tono para la correspondiente escala. Ejemplo: En la afinación Clásica Exacta, al tono 1 (men2) debemos disminuirle 29 centésimas de tono, (-29); al tono 2 (may2), debemos aumentarle 4 centésimas, etc.

Esta tabla puede ser útil si posee un sintetizador Kurzweil 1000 o 150FS. Si no, puede grabar cada nota de un teclado a su ordenador, de DO a SI, y editarla en algún software que permita afinar en centésimas de tono, como el Sound Forge.  Luego probar algunos acordes, en MIDI o cualquier programa que sirva para mezclar los sonidos.

Por cierto, estas afinaciones producen acordes que, respecto a los que estamos acostumbrados, se les pueden dar varios adjetivos: suaves, exóticos, raros, pero no por eso carentes de valor. Cada uno tiene sus ventajas y desventajas respecto a la pureza de ciertos tipo de acordes. La afinacion 1/4 Comma produce una escala que, si se toma como nota de referencia (origin) un DO, debe tocarse de este modo:

DO - DO# -RE -MIb -MI - FA - FA# - SOL - LAb - LA - SIb - SI - DO

Esta afinación produce bellos tritonos. Pero no debe tomarse C# como la raíz de Db mayor, o LAb como la tercia mayor de FA# mayor.

Un acorde muy bello puede obtenerse con esta misma afinación, con la misma nota de referencia(DO), tocando el acorde LAb 7^ma.

Una de las más increíbles es la Afinación Circular Werkmeister. Las notas sostenidas son forzadas a mezclarse, como en un círculo, en las notas bemoles después de 12 notas. Como una serpiente mordiendo su cola. Es decir, cada nota tiene un sonido distinto, con su propio color. Las notas cercanas a la fundamental son muy suaves, a expensas de las lejanas. Compárese los sonidos con el teclado 12 ET(Equal Temperament) Tradicional.

Otra escala interesante es la Armónica. Cuando la obtenga, pruebe lo siguiente: apriete (o monte) un puñado de teclas, con la mano, muchas teclas juntas. Si te ds cuenta, no hay disonancias, todas las notas refuerzan la nota base.

CONSEJOS PARA «MICROTONALEAR»

Manejar sonidos que tengan las siguientes características (en teclado).

• Un sonido brillante y sólido.
• Sin efecto de coro (chorus)
• Sin vibrato
• Envolvente sostenida (no percusiva)
• Sin procesamiento externo o reverberación

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CONCLUSIONES

La curiosidad -y acaso fascinación -de tanto número decimal y tonos con nombres extraños no debiera ser lo que el músico que ha tenido la paciencia de recorrer este artículo, saque en limpio. El microtonalismo y las afinaciones alternativas debieran ser un medio, no un fin. Todo arte tiene la simiente de la investigación y exploración de ideas y conceptos nuevos, pero estos elementos deben ser una herramienta que posibilite la ampliación de recursos disponibles para la creación. En otras palabras, es necesario aplicar estos conceptos, no quedarse en la mera teoría. Después de todo, ahora podemos elegir las notas con las que deseamos trabajar una composición. Y precisamente la razón de estas palabras ha sido fomentar el interés por estas armonías y acordes que he presentado -cuyo efecto al oído es decididamente inusual, pero agradable (como decía Claude Debussy "amo todo lo que satisfaga a mi oído"). Dichos tonos son tan fascinantes, tan alejados de nuestros actuales conceptos de armonía occidental de 12 tonos, que producen un placer estético sin precedentes.

Obviamente, el microtonalismo no es la panacea, la piedra filosofal, ni el nuevo arte del milenio. Puede haber obras microtonalistas buenas y malas, mediocres y sublimes, por supuesto. Pero el músico que desee "ir un poco más allá", debiese detenerse un momento a considerar estos conceptos, enriqueciendo así, su quehacer creativo.

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APÉNDICE: Escalas y sus valores en cents

¿Por qué la escala Alpha que al principio se dice que tiene 19 notas, aparece en la tabla de afinaciones con solo 12? Porque esta tabla funciona sólo para teclados. Pero si desea saber, en distancias de 0 a +1200 cents, cuáles son los valores de Alpha y algunas otras escalas con todas sus "tonos irracionales", aquí van. A modo de despedida, y como una manera de tratar de despertar el interés por salir de los claustrofóbicos 12 tonos. No tengo nada contra los 12 ET, pero, si existen más herramientas ¿porqué no usarlas²? Ahí están, estas notas, escondidas, esperando que las usemos. Después de todo, ¿Quién sabe si algún día, cuando los músicos del mundo se decidan a entrar de lleno en el microtonalismo, se rebase el schisma, que es el concepto actual que indica el límite del oído humano para reconocer pequeñísimas diferencias de tono?

1. Escala Alpha Carlos de 19 tonos por octava
2. Escala Exacta Enharmónica de Ben Johnston de 25 tonos por octava
3. Escalade Harry Partch de 43 tonos por octava
4. EscalaIndia Shruti de 22 tonos por octava
5. EscalaChina Lu por Huai-nan-dsi, de la era Han . Kurt Reinhard: "ChinesischeMusik"

Nota: A diferencia del cuadro de afinaciones en donde los valores de cents se sumaban o restaban tomando como referencia los intervalos exactos de 100 cents, para los valores en cents de las siguientes tablas se toma como referencia el tono origin(unísono o cero).

1.Escala Alpha Carlos de 78 cents exactos

Grado de Tono	Valor en cents	Nombre del Intervalo
1	0	unísono
2	78.000	semitono menor
3	156.000	segundo séptimal neutral
4	234.000	tono íntegro séptimal
5	312.000	tercia menor
6	390.000	tercia mayor
7	468.000	cuarta estrecha
8	546.000	cuarta septimal aumentada
9	624.000	tritono de Euler
10	702.000	quinta perfecta
11	780.000	sexta mayor
12	858.000	sexta septimal mayor
13	936.000	séptima menor exacta
14	1014.000	séptima mayor clásica
15	1092.000	octava - comma septimal
16	1170.000	1/4-tono, diesis septimal  + 1 octava
17	1248.000	-
18	1326.000	semitono mayor diatónico + 1 octava
19	1404.000	novena mayor

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2.Escala Exacta Enharmónica de Ben Johnston de 25 notas por octava

Grado de Tono	Valor en cents	Nombre del Intervalo
1	0	unísono
2	70.67245	semitono clásico cromático
3	92.17876	limma mayor,  chroma  larga
4	111.7313	semitono menor diatónico
5	182.4038	tono íntegro menor
6	203.9100	tono íntegro mayor
7	274.5825	segunda clásica aumentada
8	315.6414	tercia menor
9	386.3139	tercia mayor
10	407.8201	tercia mayor pitagórica
11	427.3727	cuarta clásica disminuida
12	498.0452	cuarta perfecta
13	519.5515	cuarta aguda
14	590.2239	tritono
15	631.2828	quinta clásica disminuida
16	701.9553	quinta perfecta
17	772.6278	quinta clásica aumentada
18	813.6866	sexta menor
19	884.3591	sexta mayor
20	905.8654	sexta mayor pitagórica
21	976.5379	sexta aumentada
22	996.0905	séptima menor pitagórica
23	1017.596	séptima menor exacta
24	1088.269	séptima mayor clásica
25	1129.328	octava clásica disminuida

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3.Escala de Harry Partch de 43 tonos por octava

Grado de Tono	Valor en cents	Nombre del Intervalo
1	0	unísono
2	21.50629	comma sintónico
3	53.27296	comma undecimal
4	84.46723	semitono menor
5	111.7313	semitono menor diatónico
6	150.6371	3/4-tono, segunda undecimal neutral
7	165.0043	4/5-tono
8	182.4038	tono íntegro menor
9	203.9100	tono íntegro mayor
10	231.1741	tono íntegro septimal
11	266.8710	tercia septimal minor
12	294.1351	tercia menor pitagórica
13	315.6414	tercia menor
14	347.4080	tercia undecimal neutral
15	386.3139	tercia mayor
16	417.5081	-
17	435.0843	tercia septimal mayor
18	470.7811	cuarta estrecha
19	498.0452	cuarta perfecta
20	519.5515	cuarta aguda
21	551.3181	cuarta armónica aumentada
22	582.5125	tritono septimal
23	617.4880	tritono de Euler
24	648.6823	quinta armónica disminuida
25	680.4490	quinta estrecha
26	701.9553	quinta perfecta
27	729.2194	quinta ancha
28	764.9162	sexta septimal menor
29	782.4924	-
30	813.6866	sexta menor
31	852.5924	sexta undecimal neutral
32	884.3591	sexta mayor
33	905.8654	sexta mayor pitagórica
34	933.1295	sexta septimal mayor
35	968.8264	séptima armónica
36	996.0905	séptima menor  pitagórica
37	1017.596	séptima menor exacta
38	1034.996	-
39	1049.363	21/4-tono, séptima undecimal neutral
40	1088.269	séptima clásica mayor
41	1115.533	-
42	1146.727	-
43	1178.494	octava - comma sintónico

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4.Escala India Shruti de 22 notas por octava

Grado de Tono	Valor en cents	Nombre del Intervalo
1	0	unísono
2	90.22504	limma pitagórica
3	111.7313	semitono menor diatónico
4	182.4038	tono íntegro menor
5	203.9100	tono íntegro mayor
6	294.1351	tercia menor pitagórica
7	315.6414	tercia menor
8	386.3139	tercia mayor
9	407.8201	tercia mayor pitagórica
10	498.0452	cuarta perfecta
11	519.5515	cuarta aguda
12	590.2239	tritono
13	611.7302	tritono pitagórico
14	701.9553	quinta perfecta
15	792.1803	sexta menor pitagórica
16	813.6866	sexta menor
17	884.3591	sexta mayor pitagórica
18	905.8654	sexta mayor
19	996.0905	séptima menor pitagórica
20	1017.596	séptima menor exacta
21	1088.269	séptima mayor clásica
22	1109.775	séptima mayor pitagórica

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5. Escala China Lu por Huai-nan-dsi, de la era Han. Kurt Reinhard: "Chinesische Musik"

Grado de Tono	Valor en cents	Nombre del Intervalo
1	0	unísono
2	98.955	dedo índice de Laúd Arábe
3	203.910	tono mayor íntegro
4	315.641	tercia menor
5	394.347	-
6	498.045	cuarta perfecta
7	608.352	-
8	701.955	quinta perfecta
9	800.910	-
10	905.865	sexta mayor pitagórica
11	1017.596	séptima menor exacta
12	1106.397	-

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Notas:

* 1: (Sobre esto, un cent, poniéndonos más complicados, pero exactos, es también  la 1200^va raíz de 2, o 2 ^(1/1200), lo que da el intervalo infinitesimal de 1:1.0005777895.)

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*2 : Un bello ejemplo de utilización de escalas alternativas puede apreciarse en la obra Beauty in the Beast de la músico Wendy Carlos ( Sello ESD 81552, año 2000 ) . En ésta se utilizan exóticas escalas armónicas y subarmónicas, como Tibetana, Pelog, Slendro, Gamelan, Alpha, Beta, Harmonic, en donde logra extrañas y hermosas armonías teniendo nada menos que ¡144 notas por octava!

En otra obra de esta excelente músico, podemos apreciar también la aplicación de escalas alternativas: Tales of Heaven & Hell

Por otro lado, en su obra Switched-On Bach 2000 (CD-80323, Sello Telarc, año 1992) utiliza escalas afinadas en torno a la nota principal de cada tema(Meantone), además de usar una variación de la escala Circular Werkmeister que aparece en el Cuadro de Afinaciones

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Thesaurus:

Internet:
Palabras clave- Keywords

Tunings, Microtonal, Microtonalism, Microtono, Semitonos, cent, lattices, tunes, tunings, Alternative Tunings, triad,scales, afinación, escalas, música electrónica,harmonic scales, subharmonic scales, enharmonic scales, Iannis Xenakis, John Cage, alexander ellis, dodecafonism, Philip Glass, música aleatoria, aleatoric music, minimalism, Alois Haba, 12 tone equal-temperament, pythagorean tuning, Just Tuning, Purely Harmonic Partials, Asymmetric Divisions, tritono, intervalo, kurzweil 1000, Hermann Von Helmoltz, 31 tone equal temperament, Fibonacci, combination productsets, cps, ervin m. wilson, hexany, eikosany, dekatesserany, ciclos diafónicos, diaphonic cycles, euler genos, euler-fokker genera, Leonhard Euler, schisma, octony, Bohlen-Pierce, Ben Johnston, ragas, Jon Catler, Lou Harrison, Larry Hanson, Wendy Carlos, Alpha Carlos Scale, Beta Carlos Scale, gamma carlos scale, Switched-On Bach 2000, Beauty in the Beast, Kyle Gann, Slendro, Pelog, Johann Philipp Kirnberger, Vallotti & Young, Andreas Werkmeister, meantone, Robert Moran

Referencias (en inglés)

• Alles, H. G., 1979, "An Inexpensive Digital Sound Synthesizer" ComputerMusic Journal 3(3): 28-37
• Apel, W., 1972, "Harvard Dictionary of Music" The Belknap Press, Cambridge,
• Backus, J., 1977, "The Acoustical Foundations Of Music" W. W. Norton& Co., New York, chpt. 8
• Balzano, G. S., 1980, "The Group-theoretic Description of 12-Fold and Microtonal Pitch Systems" Computer Music Journal 4(4): 66-84
• Barbour, J. M., 1953, "Tuning and Temperament: A Historical Survey " Michigan State College Press, East Lansing
• Bateman, W. A., 1980, "Introduction To Computer Music" John Wiley &Sons, New York, cap. 10
• Benade, A. H., 1976, "Fundamentals of Musical Acoustics" Oxford UniversityPress, New York, caps. 14-17
• Blackwood, E. (c/ J. Aikin), 1982, "Discovering the Microtonal Resources of the Synthesizer" Keyboard 8(5): 26-38
• Blackwood, E., 1985, "The Structure of recognizable Diatonic Tunings"Princeton University Press
• Helmholtz, H., 1954 ed. A. Ellis, "On The Sensations Of Tone" DoverPublications, New York
• Jeans, J., 1968, "Science & Music" Dover Publications, New York,cap. 5
• Kaplan, J. K., 1981, "Developing a Commercial Digital Sound Synthesizer"Computer Music Journal 5(3): 62-73
• Lloyd, L. S. & Boyle, H., 1979, "Intervals, Scales and Temperaments" St. Martins Press, New York
• Olson, H. F., 1967, "Music, Physics and Engineering" Dover Publications,New York, cap. 3
• Partch, H., 1979, "Genesis Of A Music" Da Capo Press, New York
• Pierce, J.,1983, "The Science of Musical Sound" Scientific AmericanBooks
• Rayleigh, J. W. S., 1945, "The Theory Of Sound", Dover Publications,New York
• Yasser, J., 1975, "A Theory Of Evolving Tonality" Da Capo Press, NewYork
• Yunic, M. & Swift, G. W., 1980, "rr

Contribuciones de lectores

22-tone equal temperament

(4-diciembre-2007)

Scale archetypes:
0-218-436-655-709-927-1145-1200
0-218-327-655-764-982-1091-1200
0-55-109-436-491-818-873-1200
0-218-436-545-764-873-1091-1200
0-109-382-655-764-927-1036-1200
0-109-327-545-764-982-1091-1200
0-109-218-327-655-764-873-1200
Keyboard design: The diatonic notes are:
0-218-436-655-709-927-1145-1200
Or else, the WHITE notes are
0-218-436-655-709-927-1145-1200
Just fill in the other notes on top of the diatonic
(white) notes and you have the most efficient keyboard design
for 22-tone equal temperament."
Thanks, Robert Thomas Martin! (Australia)

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